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Piero della Francesca: pintor y matemático (Parte I)
Hoy día Priero della Francesca (c. 1412-1492) es reconocido
como uno de los pintores semifinales del Renacimiento. Sus obras son
consideradas arquetipos de ese portentoso despliegue técnico de quienes
comenzaban a dominar la naciente ciencia del trazo en perspectiva, la llamada costruuzione leggitima, gracias a la
cual objetos y personajes representados en una pintura parecían habitar un
espacio pictórico real. Este simple hecho habría bastado para cimentar la fama de Piero. Sin embargo, su figura resulta también excepcional por haberse
forjado, de manera independiente a sus talentos artísticos, una reputación como
matemático.
Poco se sabe de la vida de Piero y , a pesar de formar parte
de la lista de ilustres artistas incluidos en la colección de relatos
biográficos debida a Vasari (Vite, 376-380), no hasta el siglo XIX que el mundo
del arte volvió los ojos hacia su obra. Nació en el pequeño pueblo de Borgo San
Sepolcro (hoy Sansepolcro) y realizo su trabajo en sitios relativamente poco
importantes; estos, sin embargo, se han convertido en templos a cuyos muros
acuden como peregrinos los amantes del arte. Ejemplo paradigmático de esta
situación es el relativo a la Flagelación de Cristo (imagen de abajo), una de las más famosas y
preciadas obras del Renacimiento, que permaneció casi desconocida hasta
principios del siglo pasado. Cuando los historiadores del arte posaron su
atención en ella Della Francesca era recordado más como artesano versado en las
disciplinas matemáticas que como pintor.
Durante el siglo XIX Piero era tenido por autor de varios
tratados matemáticos, aunque de ellos solo se conocían tres. La flagelación,
por su parte se apreciaba como una obra menor aunque curiosa, que reflejaba sus
intereses como matemático; también destacaba en la pintura la presencia “de una
necesaria y generosa ley” que ligaba nuestras percepciones con la óptica y las
matemáticas (Guston, Della Francesca).
Estas consideraciones proponen un marco de referencia para
entender de manera unitaria su legado artístico y matemático y captar así la
pureza matemática bajo la que se acomodaban las formas que, flotando “cual
joyas en el aire transparente y la argentina luz”, se posaban en los espacios
claramente definidos por Della Francesca.
Hacia una teoría de la pintura: arte, óptica y matemáticas
A fines del Medioevo los vínculos más estrechos entre la
ciencia y el arte ocurrieron en el seno de lo que se entendía por óptica. Esta
disciplina aportó los elementos teóricos para que pintores, escultores y
arquitectos desarrollaran técnicas con el fin de generar la ilusión de un
espacio consistente y racional donde se distribuían objetos tridimensionales
representados con las proporciones correctas-tamaños relativos-entre unos y
otros. Además, sugería cómo imitar la acción de la luz natural para denotar
relieves. Muestra de su pertinencia para pintura es que los dos primeros
escritos teóricos del tema, el De la pintura de León Battista Alberti (1435) y
los Commentarii de Lorenzo Ghiberti (1478), dedicaron una de las tres partes
que los componen a discutir los usos de la óptica en el arte.
El de Alberti es un tratado corto donde expone lo que
constituye una teoría de la pintura y presenta la ciencia de la perspectiva de
los artistas o perspectiva artificial, con lo que la distingue de la óptica
tradicional, conocida en el Renacimiento como perspectiva naturalis o communis.
Para algunos, este tratado de arte es el más original y el que mayor influencia
ha tenido a lo largo de la historia. Esto podría ser algo exagerado, pero lo
que sí es un hecho, es que con su publicación, Alberti creó un octavo arte
liberal-que se sumaba a las tres disciplinas del trívium y a las cuatro del
cuatrium-y situó al artista en la posición de intérprete del orden que se
manifestaba a través del universo visible. Entusiasmado con las matemáticas de
la luz y del espacio, el pintor semejaba un dios que contemplaba su propia
belleza en los reflejos de la Naturaleza.
Alberti, uno de los más preclaros ejemplos del humanismo
florentino, abre su Libro I señalando que “en aras de un discurso claro, al
escribir…acerca de la pintura, tomaré de los matemáticos aquellas cosas que
parezcan relevantes para el tema. Cuando éstas sean aprendidas intentare:
explicar el arte de la pintura a partir de los principios básicos de la
naturaleza”. Lo cual aparentemente sitúa la obra dentro de la tradición de las
ciencias aplicadas que eran de uso común en talleres y botteghe o escuelas de
oficios. Sin embargo lo cierto es que De la Pintura es un tratado didáctico de
corte humanista, compuesto en el espíritu de los escritos de Cicerón, Séneca y
Quintiliano, y, por lo tanto, leído y estudiado principalmente por una élite
intelectual que populaba en las cortes y que tenía acceso a las nuevas
bibliotecas de quienes veían en la cultura de sus productos una comodidad que
halagaba sus vanidades a la vez que exhibía su grandeza.
El texto de Ghiberiti corresponde a otra tesitura y, al
igual que el libro que Il libro dell´arte de Cennino Cennini (1390), esta
dirigido primariamente a los nuevos pintores que aprendían el oficio en alguno
de los múltiples talleres donde se les entrenaba en cuestiones prácticas y
teóricas, mismas que resultaban muy lejanas de lo que las universidades enseñaban.
Por su parte, y hasta donde ha sido posible establecerlo, el Tratado de pintura
de Leonardo no encajaba en ninguna de estas categorías, apuntaba más bien en
todas direcciones, busca seducir al rico patrono con las posibilidades de su
ingenio, aconseja al no iniciado sobre el uso de las sombras y los efectos
atmosféricos y guía al más experimentado en complejas rutas de la perspectiva.
Partícipe de estas preocupaciones, Piero escribió un tratado
que toca un aspecto de la pintura: la perspectiva...
El cero: Un número de gran valor
Hay un número que aparece en todos los sistemas de numeración sin excepción: el uno. Esto no puede ser sino natural. El uno denota la unidad, el inicio del conteo. Apartir del uno podemos, como el hombre primitivo, formar los demas números: uno y uno son 2, uno y uno y uno son 3 y así sucesivamante. Esto no será muy eficiente pero es el principio fundamental del conteo.
De esta manera, en todos los sistemas de numeración, el 1 es el primer número de contar. Podemos notar también que de hecho, este número ha conservado la notación con la que se designaba desde las cavernas: una raya vertical | es escencialmente lo mismo que nuestro 1, y así se le denota en muchos sistemas de numeración del mundo.
Pero...¿Qué pasa si queremos contar piedras y no hay piedras? Sin duda, tú rápidamente contestas: hay cero piedras. ¿Qué número es éste: cero? Un número muy especial. En realidad el número cero quiere decir que no hay nada, que no podemos empezar siquiera a contar.
Por esta razón. los sistemas de numeración, que sirven para contar cosas comienzan con el número 1, es decir empiezan contanto algo. Sin embargo, saber cuándo tenemos nada y poder expresarlo, poder decir: tengo cero objetos, es importante.
Algunos pensadores han afirmado lo siguiente: "En la historia de la cultura el descubrimiento del cero siempre se distinguirá como el logro más grande de la raza humana".
¿Tan importante es el cero?¿Por qué? En primer lugar, hay una diferencia importante entre el cero y los números de contar. El número cero no se usa en actividades cotidianas. Nadie dice: "voy a comprar cero pescados". En ese sentido, el uso del cero muestra un grado de sofisticación e inteligencia mayor que el uso de los números de contar.
Por eso, no es de extrañar que las culturas humanas tardaran tanto tiempo en desarrollar la idea del cero. En efecto...hubo culturas de primera importancia, como los egipcios, que miles de años antes de nuestra era levantaron las maravillosas pirámides y que, sin embargo, no tenían entre sus conceptos el del número cero. La influencia de las matemáticas egipcias sobre las culturas griega y romana nos lleva a que el sistema calendario que usamos hoy en día no tenga año cero.
El cero tiene propiedades especiales cuando se usa en operaciones matemáticas:
De esta manera, en todos los sistemas de numeración, el 1 es el primer número de contar. Podemos notar también que de hecho, este número ha conservado la notación con la que se designaba desde las cavernas: una raya vertical | es escencialmente lo mismo que nuestro 1, y así se le denota en muchos sistemas de numeración del mundo.
Pero...¿Qué pasa si queremos contar piedras y no hay piedras? Sin duda, tú rápidamente contestas: hay cero piedras. ¿Qué número es éste: cero? Un número muy especial. En realidad el número cero quiere decir que no hay nada, que no podemos empezar siquiera a contar.
Por esta razón. los sistemas de numeración, que sirven para contar cosas comienzan con el número 1, es decir empiezan contanto algo. Sin embargo, saber cuándo tenemos nada y poder expresarlo, poder decir: tengo cero objetos, es importante.
Algunos pensadores han afirmado lo siguiente: "En la historia de la cultura el descubrimiento del cero siempre se distinguirá como el logro más grande de la raza humana".
¿Tan importante es el cero?¿Por qué? En primer lugar, hay una diferencia importante entre el cero y los números de contar. El número cero no se usa en actividades cotidianas. Nadie dice: "voy a comprar cero pescados". En ese sentido, el uso del cero muestra un grado de sofisticación e inteligencia mayor que el uso de los números de contar.
Por eso, no es de extrañar que las culturas humanas tardaran tanto tiempo en desarrollar la idea del cero. En efecto...hubo culturas de primera importancia, como los egipcios, que miles de años antes de nuestra era levantaron las maravillosas pirámides y que, sin embargo, no tenían entre sus conceptos el del número cero. La influencia de las matemáticas egipcias sobre las culturas griega y romana nos lleva a que el sistema calendario que usamos hoy en día no tenga año cero.
El cero tiene propiedades especiales cuando se usa en operaciones matemáticas:
- Para cualquier número n, se tiene que n+0=n.
- Para cualquier número n, se tiene que n*0=0.
- No se puede dividir entre cero.
Sin embargo, la verdadera importancia del cero se debe al uso que tiene en los sistemas de numeración posicional, ya que éstos sistemas son los que han prevalecido en los últimos cien años, ya que proporcionan ventajas a otros sistemas.
Emmy Noether (1882-1935)
Simetrías y su relación con las cantidades conservadas
Emmy Amalie Noether nació el 23 de marzo de 1882 en Erlangen, Babaria, Alemania. El padre de Emmy, Max Noether, de origen judío, fue un distinguido matemático y profesor en Erlangen. Noether asistió a la Höhere Töchter Schule de Erlangen entre 1889 y1897.
Estudió alemán, ingles, francés, aritmética y recibió clases de piano. Su objetivo era convertirse en profesora de idiomas, se examinó en el estado de Babaria y en 1900 se convirtió en profesora oficial de ingles y francés para escuelas femeninas de la región.
Emmy Noether nunca llegó a dar clases de idiomas. En su lugar decidió tomar el complicado camino, para una mujer de su época, de estudiar matemáticas en la universidad. Las mujeres sólo podía estudiar de forma no oficial en las universidades alemanas, sin embargo, cada profesor debía autorizarlo expresamente.
Noether obtuvo la autorización para asistir a la Universidad de Erlangen entre 1900 y 1902. Después, tras matricularse en Nuremberg en 1903 y 1904 asistió a clases magistrales de Blumenthal, Hilbert, Klein y Minkowski.
En 1904 Noether pudo matricularse en Erlangen y en 1907 obtuvo su doctorado bajo la supervisión de Paul Gordan. Tras haber completado su doctorado, la progresión normal hubiera sido acceder a un puesto académico mediante la habilitación. Sin embargo, este camino estaba vetado a las mujeres, por lo que Noether permaneció en Erlangen ayudando a su padre en sus labores cotidianas.
La reputación de Emmy Noether como matemática creció rápidamente según aparecían sus publicaciones. En 1908 fue elegida para pertenecer al Circolo Matematico di Palermo y en 1909 fue invitada a convertirse en miembro de la Asociación Matemática Alemana, en el mismo año fue invitada a dirigirse a la reunión anual de la Sociedad Matemática de Salzburgo.
En 1913 daba clases magistrales en Viena. En 1915 Hilbert y Klein invitaron a Noether a regresar a Göttingen. Le persuadieron para que se quedase en Göttingen mientras intentaban que fuera admitida de forma oficial en la Facultad. Fue hasta 1919cuando lo consiguieron tras mantener un largo estira y afloja con las autoridades universitarias. Durante este tiempo, Hilbert permitió a Noether dar clases magistrales anunciando los cursos de ella bajo su propio nombre.
El primer trabajo de Emmy Noether cuando llego a Göttingen en 1915 fue un resultado, ahora muy famoso, sobre física teórica al que se le conoce como Teorema de Noether, en el que demuestra la relacion entre las simetrías en la física y los principios de conservación. A cada simetría de un sistema le corresponde una cantidad conservada. Este resultado, básico para la teoría general de la relatividad, fue alabado por Einstein en una carta a Hilbert haciendo referencia al penetrante pensamiento matemático de Noether.
Además de su trabajo de enseñanza y de investigación, Noether ayudó en la edición de la revista Mathematische Annalen. Gran parte de su trabajo apareció en publicaciones de sus colegas y estudiantes, en lugar de hacerlo bajo su propio nombre.
El reconocimiento a sus aportaciones matemáticas llego con la invitación a dirigirse al Congreso Internacional de Matemáticas de Bolonia en 1928 y en el de Zurich de 1932. En este último año recibió, de forma conjunta con Artin, el Premio Alfred Ackermann-Teubner para el Avance en el Conocimiento Matemático.
En 1933 aceptó una plaza de profesor visitante en el Bryn Mawr College en los Estados Unidos y tambien comenzó a dar clases magistrales en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, Emmy Noether murió el 14 de abril de 1935 en Bryn Mawr, Pennsylvania, Estados Unidos.
Alfredo Macias
Departamento de Física
Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa
Fuente: Bol. Soc. Mex. Fis.
¿Arte o geometría?
Los artistas modernos juegan con las figuras geométricas, las combinan, las sobreponen, la iluminan y prácticamente les dan vida.
Usualmente se identifica lo abstracto con lo frío y lo inhumano, con aquello que se piensa pero no se siente.
También se identifica lo abstracto con la ciencia, y se piensa a las matemáticas como la más abstracta de las ciencias.
La capacidad de abstraer, sin embargo, es la más humana de la capacidades, la que más nos distingue de los animales.
La abstracción no es alejarse de la realidad, por el contrario, en la ciencia, la abstracción es tratar de entender la realidad para poder sentirla conscientemente, en el arte, el llamado arte abstracto, es el intento de expresar lo más profundo del ser humano, eso que uno no puede expresar, con palabras, ni con retratos, ni con paisajes...
Santillana Matemáticas 3
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El Príncipe de las Matemáticas
Esta es la historia de un príncipe, pero no es un cuento de hadas. En los cuentos de hadas las cosas suceden milagrosamente, los príncipes pelan contra dragones y los vencen con espada mágicas o mantos que los vuelven invulnerables.En cambio, el príncipe de nuestra historia luchaba con otras armas y contra otra clase de dragones.La historia comienza en una pequeña casa del poblado de Brunswick, Alemania, un día de abril de 1977. Ahí, en una familia humilde, nació Karl Friedrich Gauss, quien más tarde será llamado el Príncipe de las Matemáticas.
El caso de este hombre es poco común. Todos los seres humanos tenemos la capacidad necesaria para comprender cómo es el mundo que nos rodea, pero no todos sabemos ver "las cosas de manera diferente", Gauss poseía ese talento envidiable para poder arrancar a la naturaleza sus secretos.
Su capacidad de penetrar en el mundo del as ideas se manifestó desde su niñez. Cuando tenía diez años, asistía a una escuela rural que dirigía un tiránico maestro apellidado Büttner. Este gustaba de poner complicados problemas a sus alumnos. En cierta ocasión, les pidió que sumaran del 1 al 1000, 1+2+3+4+5+...+1000. Pues bien, resulta que minutos después que el maestro había planteado el problema, Gauss se levantó y colocó su pizarra sobre el escritorio. "Ligget se", debió decir el pequeño Karl Friedrich en su dialecto, esto es: "Ya está". El resultado era absolutamente correcto y el tiránico Büttner tuvo que aceptar que tenía un alumno extraordinario.
Lo que hizo Gauss con el problema fue pensarlo de manera diferente. Mientras sus compañeros hacían sumas, el pequeño Karl Friedrich buscó una fórmula más simple y rápida. Y la encontró: para obtener el resultado de la suma del 1 al 1000 basta con multiplicar 1000 por 1001 y luego dividir el resultado entre 2. Este razonamiento fue el principio de una larga cadena de estudios que en su vida adulta, Gauss convirtió en una de las partes más importantes de las matemáticas modernas: las Series.
Gauss incursionó en la Física y en la Astronomía. Cuando estudió los fenómenos electromagnéticos, su habilidad lo condujo a comprender que éstos se pueden interpretar matemáticamente; entonces, dio forma a muchas ecuaciones que más tarde, en manos de otros hombres de ciencia, desenmascararían los secretos de la electricidad y magnetismo.
Como astrónomo era sorprendente. Cuando Giuseppe Piazzi descubrió la existencia del planetoide Ceres, el primer día del siglo XIX, la vida de Gauss dio un giro. Nuevamente abordó el problema de una manera poco común y calculó la órbita de ese cuerpo celeste.
El príncipe de las Matemáticas también tenía pasatiempos. Entre sus experimento llegó a diseñar el primer telégrafo eléctrico, que probó repetidas veces ayudado por uno de sus colaboradores.
Así pues, Gauss vivió bien sus 78 años de existencia. Nunca fue un príncipe de cuanto de hadas ni dejó de ser modesto y reservado. Sin embargo, los dragones que él venció: los hechos que la naturaleza no nos muestra, le concedieron la misma eternidad que tienen los grandes héroes.
¡Gracias por su visita!
Fuente:Chispa No 155
Enrique Martínez Limón
Ilustración: Jazmín Velasco
